先日、日ごろから興味を持っていたことについて、モンテカルロ・シミュレーションを用いて調査した。
そこで、今回行った調査結果についてメモに残しておく。
もっとも、もう一度やり直すことになると考えているが。
１ 背景
私が「日ごろから興味を持っていたこと」とは次のような疑問である。
半々で勝ち負けが決まる勝負を相当回数（例えば、１００回、１０００回）実施した場合、最大何連勝（何連敗）くらいを経験しうるのか
このことを調べるために、モンテカルロ・シミュレーションを実施した（計算に拠らなかった理由は後述）。
ただ、モンテカルロ・シミュレーションによって調べるためには、この疑問をモデル化する必要がある。
そこで、上の問いを次のように書き換えた。
（以下、変数を使って具体化した問題）
あるコインがある。
このコインを使ってコイントスしたとき、表が出る確率がｐとする。
このコインを使ってコイントスをｎ回連続して行った。
このｎ回のコイントスにおいて表が連続して出た回数の最大値をｍとする。
ｍの平均値や偏差値はいくつになるか。
・・・すごく風呂敷の広い問いとなってしまった。
というのも、私はｍ（ｎ，ｐ）の一般式を求めたいわけではないからである。
そこで、ｎとｐに具体的な数値を代入する。
（以下、変数を使わないで具体化した問題）
コイントスしたとき、表と裏が半々の確率で出るコインがある（ｐ＝０．５）。
このコインを使ってコイントスを１００回連続して行った（ｎ＝１００）。
この１００回のコイントスにおいて表が連続して出た回数の最大値をｍとする。
ｍの平均値や偏差値はいくつになるか。
５０％の確率で表が出たり裏が出たりする場合、表が出る回数の期待値はコイントスの回数の半分で表現できる。
また、表が出る回数の標準偏差は（試行回数の平方根の半分）で表現できる。
これらの結果は二項分布の公式を使えば容易に分かる。
これに対して、私が知りたいのは「どれくらい連続するのか」である。
というのも、５０％の確率で表が出る（裏が出る）としても、表と裏が交互に出るわけではないからである。
つまり、今回は「連続」といった観点に注目して調査を行うことにした。
２ 調査方法
この点、「連続した回数の最大値」を計算で求めるのは容易ではない。
何故なら、最初の具体的なモデルにおいてコイントスの回数（ｎ）は１００となっていて、相当大きな数になっているからである。
そこで、今回はモンテカルロ・シミュレーションによって調査することにした。
次に、モンテカルロ・シミュレーションのサンプル数は１０００とした。
というのも、「感覚的にこの辺」ということが分かれば十分だからである。
本来なら、１０００では全然足らないだろうが（最低１万、できれば１００万）。
さらに、今回はエクセルで調査することにした。
というのも、エクセルのセルや関数を使えば楽に計算できるからである。
なお、サンプル数が１０００になったのは、エクセルを使っていることも理由の一つになっている。
なお、将来的には、ＲｕｂｙかＰｙｔｈｏｎによってプログラムを組んで調査する予定である。
サンプル数が１０００では全然足らないような気がするからである。
３ 調査結果（ｎ＝１００、ｐ＝０．５の場合）
では、今回の調査結果をば。
コイントスの回数が１００回、表が出る確率が５０％の場合、１０００回のモンテカルロ・シミュレーションによる平均値と標準偏差は次の通りとなった。
※ ｎ＝１００、ｐ＝０．５において（試行回数１０００）
表が出た回数 平均値 ４９．９７回、標準偏差５．０７回
最も連続して表が出た回数 平均値５．９４回 標準偏差１．７６回
この点、ｎ＝１００、ｐ＝０．５の場合、「表が出た回数」の平均値や標準偏差を２項分布の公式から計算すると、平均値が５０回、標準偏差が５．０回となる。
この計算結果と上のシミュレーション結果を比較すると、今回のシミュレーション結果は概ね理論値と重なり、シミュレーションとして大きな問題がないと言える。
そのうえで、連続して表が出た回数の最大値を見ると、平均値は約５．９回、標準偏差は１．７６回となった。
ここで、強引に「この結果と無限回数行った結果が等しい」と考えて考察する。
この場合、半々の勝負を１００回実施した場合、６連勝、６連敗といった事実は十分に経験しうると言える。
逆に、有意水準５％という基準で考えた場合、１０連勝以上、２連勝以下といったことは生じにくい（棄却される）と言うこともできそうである。
この結果を見ると、「結構ばらつくんだなあ」と感じる次第である。
４ 別のケースの場合
せっかくなので、パラメーターをいじって遊んでみよう。
まず、コイントスの回数を１００回から１０００回に増やしたらどうなるか。
モンテカルロ・シミュレーションによる結果は次のとおりである。
※ ｎ＝１０００、ｐ＝０．５において（試行回数１０００回）
表が出た回数 平均値 ５００．６６回、標準偏差１６．１７回
最も連続して表が出た回数 平均値９．３３回 標準偏差１．８回
ｎ＝１０００、ｐ＝０．５の場合、「表が出た回数」の平均値や標準偏差を２項分布の公式から計算すると、平均値が５００、標準偏差が１５．８となる。
この計算結果と上のシミュレーション結果を比較すると、今回のシミュレーション結果は概ね理論値と重なり（やや標準偏差が高くなっているが）、シミュレーションとして大きな問題がないと言える。
そして、連続して表が出た回数の最大値の平均値は９．３３回、標準偏差は１．８回となった。
同じように、強引に「この結果と無限回数行った結果と等しい」と仮定する。
この場合、半々の勝負を１０００回実施した場合、９連勝、９連敗といった事実は十分に経験しうることになる。
逆に、有意水準５％の基準で考えた場合、１４連勝以上、５連勝以下といったことは生じにくい（棄却される）、と言える。
こちらの結果を見ても「結構ばらつくんだなあ」と感じる次第である。
なお、ｎは１００か１０００とし、ｐを０．２５、０．７５に動かした場合の結果は次の通りであった。
こちらは結果のみ掲載しておく。
※ ｎ＝１００、ｐ＝０．２５において
表が出た回数 平均値 ２５．０５回、標準偏差４．２５回
最も連続して表が出た回数 平均値３．０６回 標準偏差０．９７回
※ ｎ＝１０００、ｐ＝０．２５において
表が出た回数 平均値 ２５０．１回、標準偏差１３．９１回
最も連続して表が出た回数 平均値４．７２回 標準偏差０．９６回
※ ｎ＝１００、ｐ＝０．７５において
表が出た回数 平均値 ７４．９回、標準偏差４．５８回
最も連続して表が出た回数 平均値１２．８回 標準偏差４．１回
※ ｎ＝１０００、ｐ＝０．７５において
表が出た回数 平均値 ７４９．９回、標準偏差１３．７７回
最も連続して表が出た回数 平均値２０．５回 標準偏差４．３５回
以上、ランダムを連続の関係を調べてみた。
意外に連勝（連敗）はばらつくんだなあ、と感じた次第である。
ランダムが絡む場合、連勝、連敗といった結果に心理的に振り回されないことが重要である、と言えるだろうか。
では、今回はこの辺で。
